Introducción a la mecánica computacionalSergio Rojas (PUCV) – Michael Karkulik (UTFSM) |
Resumen:La mecánica es la rama de la física que estudia y analiza la evolución, en el tiempo, de cuerpos en movimiento bajo la acción de fuerzas externas. En particular, la mecánica de sólidos es una subrama que estudia la deformación de cuerpos compuestos por partículas, que restringen su movimiento las unas a las otras. Naturalmente, la mecánica de sólidos es una herramienta fundamental en muchos ámbitos de la ingeniería moderna. A modo de ejemplo, en ingeniería civil, aeroespacial, estructural, como también en otras áreas de la ciencia, incluyendo geología y medicina. Típicamente la mécanica, en particular la mecánica de sólidos, se rige por leyes físicas descritas por Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP). La complejidad de los problemas en estos ámbitos demanda el uso de métodos computacionales, como por ejemplo diferencias finitas, volumenes finitos y elementos finitos. En este curso ejemplificaremos la mecánica de sólidos mediante el estudio matemático y la resolución computacional de la elasticidad lineal, modelo matemático de deformaciones reversibles. Este curso es de carácter introductorio, por lo que el único requisito es contar con conocimientos de cálculo vectorial y nociones básicas de ecuaciones diferenciales parciales. |
Coloración de grafosDaniel Quiroz (UV) – Andrea Jiménez (UV) |
Resumen:¿Cuántos colores se requieren para colorear un mapa de manera que países limítrofes tengan colores distintos? En 1852, Francis Guthrie, estudiante de De Morgan, postuló que 4 colores son suficientes. Cien años más tarde, Appel y Haken resolvieron el problema, hoy conocido como el Teorema de los 4 colores. Este problema es el primero de una rama fundamental de la teoría de grafos llamada coloración de grafos. En este curso veremos una introducción a la teoría de coloración de grafos. Nos enfocaremos en algunos de los resultados clásicos del área y en las técnicas utilizadas en sus demostraciones. |
Curvas elípticas: geometría aritmética y criptografíaAmalia Pizarro (UV) – Pedro Montero (UTFSM) – Luis Lomelí (PUCV) |
Resumen:En este mini-curso daremos una introducción a las curvas elípticas y sus diversas interacciones con geometría, aritmética, así como aplicaciones a la criptografía. Comenzaremos por introducir las curvas elípticas como toros complejos dando énfasis en la relación con funciones doblemente periódicas, y notablemente con las llamadas funciones de Weierstrass que permiten describir dichos toros mediante ecuaciones cúbicas. La ventaja de este último punto de vista es que permite definir las curvas elípticas en otros cuerpos, como por ejemplo cuerpos finitos. Para ello, introduciremos algunas de las nociones básicas en geometría algebraica necesarias para estudiar curvas en el plano proyectivo y describiremos la ley de grupo de una curva elíptica en este contexto. Las curvas elípticas tienen una función L asociada, la cual contiene información aritmética importante. En el caso de curvas elípticas sobre un cuerpo finito, demostraremos que las funciones L satisfacen una propiedad algebraica de racionalidad y satisfacen una ecuación funcional. Finalmente, revisaremos una aplicación de las curvas elípticas en el mundo real. En particular, estudiaremos un protocolo criptográfico post-cuántico (es decir, resistente a ataques cuánticos) cuya seguridad y eficiencia se basa en el cálculo de isogenias en ciertas familias de curvas elípticas definidas sobre cuerpos finitos. |